核密度估计

最近用 ArcGIS 做作业用到了一个 核密度分析 工具，它在 ArcGIS 中的主要作用是计算单位面积的人口强度。

这让我联想到平时用 Python 绘制频率直方图时，为让数据呈现得更平滑美观，通常会叠加绘制一条核密度估计（KDE）曲线。

然而，我发现自己从未深入探究过其背后的原理和具体实现方式。于是出于好奇，我查阅了一些相关资料。

直观理解

首先直观理解核密度函数，想象每个数据点都是一盏灯：

• 每盏灯会发出对称的光晕
• 光晕的明暗由距离决定，越近越亮
• 把所有灯的光晕叠加起来，就得到整个数据分布的“亮度图”

核密度函数的公式

给定一个包含 n 个独立同分布样本的数据集 ，其核密度估计 在任意点 的值为：

• : 样本点
• ：核函数
• ：带宽参数

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核函数 是满足以下条件的概率密度函数：

• 非负性：对所有 有
• 对称性：通常 ，以保证估计的无偏性。
• 积分为1：，确保最终估计 也是一个合法的概率密度（即总面积也为1）

关于 总面积为1 我们可以进行如下数学推导：

对 积分：

令 ，则 ：

其中 是一个标准的概率密度函数，满足：

所以：

因此，不管样本数据如何、带宽如何取，只要核函数是概率密度函数， 的积分就恒为 1。

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带宽参数 控制核函数的缩放程度和平滑水平

• h 越大，叠加后的曲线越平滑。但可能会过度平滑，掩盖分布的细节（高偏差，低方差）
• h 越小，叠加后的曲线越崎岖。但可能跟随采样噪声，产生许多虚假的波动（低偏差，高方差）

一般采用 Silverman经验法则：

ArcGIS 中的核密度分析

再回来看 ArcGIS 中的核密度分析就比较好理解了，它和传统 KDE 略有不同。它计算的是单位面积的人口强度，而不是概率密度。

ArcGIS Population KDE公式：

其中：

• ：位置 处的人口密度（单位：人/平方千米）
• ：POI 样本点 的人口数（Population字段）
• ：POI 样本点 到位置 的距离
• ：核函数
• ：带宽（搜索半径）